S o l u t i o n
• Si f + g est bijectif, on a Im( f + g) = E.
On a toujours Im( f + g) ⊂ Im f + Im g puisqu'un élément de Im ( f + g) est de la
forme f (x) + g(x) avec x ∈ E. On sait aussi que :
dim (Im f + Im g) = dim Im f + dim Im g − dim (Im f ∩ Im g) .
On en déduit :
n dim (Im f + Im g) rg f + rg g .
• L'hypothèse f ◦ g = 0 est équivalente à Im g ⊂ Ker f .
On en déduit rg g dim Ker f = n − rg f, soit rg f + rg g n .
• Avec les deux inégalités obtenues, on conclut :
rg f + rg g = n .
A p p l i c a t i o n
E est un K-espace vectoriel de dimension n ; f et g sont des endomorphismes de E.
Montrez que :
rg f + rg g − n rg(g ◦ f ) min (rg f, rg g) .
S o l u t i o n
• Montrons que rg(g ◦ f ) min (rg f,rg g) .
Comme Im(g ◦ f ) ⊂ Im g, on a rg(g ◦ f ) rg g.
Soit
u i
i∈{1,..., p}
une base de Im f . La famille
g(u i )
i∈{1,..., p}
est alors génératrice de
g(Im f ) = Im(g ◦ f ), ce qui entraîne rg(g ◦ f ) p = rg f.
On a donc bien rg(g ◦ f ) min (rg f,rg g) .
• Montrons que rg f + rg g − n rg(g ◦ f ), ou, ce qui est équivalent :
rg f − dim Kerg rg(g ◦ f ) .
Soit h la restriction de g à Im f.
h étant une application linéaire de Im f dans E, on a :
dim Im f = dim Ker h + dim Im h
On a Im h = Im(g ◦ f ) ,
et Ker h = {x ∈ Im f ; h(x) = g(x) = 0} = Im f ∩ Ker g ⊂ Kerg .
D'où dim Im f = dim Im(g ◦ f ) + dim (Im f ∩ Ker g) .
On en déduit rg f rg(g ◦ f ) + dim Ker g , ce qui est équivalent à l'inégalité demandée.
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F I C H E 1 6 – A p p l i c a t i o n s l i n é a i r e s
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