S o l u t i o n
On a toujours :
Ker f ⊂ Ker f
2 car x ∈ Ker f ⇐⇒ f (x) = 0 ⇒ f
2
(x) = f (0) = 0 ,
Im f
2
⊂ Im f car si x ∈ Im f
2 , il existe y ∈ E tel que x = f
2
(y) = f
f (y)
.
(a) ⇒
⇒⇒ (b)
D'après le théorème du rang appliqué à f et à f
2 , on a :
n = dim Ker f + dim Im f = dim Ker f
2
+ dim Im f
2 .
L'hypothèse entraîne : dim Im f = dim Im f
2 , et par conséquent :
dim Ker f = dim Ker f
2 .
Comme on a toujours Ker f ⊂ Ker f
2 , on en déduit Ker f = Ker f
2 .
(b) ⇒
⇒ (c)
Sachant que dim Ker f + dim Im f = n, il reste à démontrer que
Ker f ∩ Im f = {0}. En effet, on aura alors :
dim (Ker f + Im f ) = dim Ker f + dim Im f − dim (Ker f ∩ Im f ) = n ,
ce qui entraînera Ker f + Im f = E.
Soit x ∈ Ker f ∩ Im f. On a f (x) = 0, et il existe y ∈ E tel que x = f (y) .
Par conséquent f
2
(y) = 0, soit y ∈ Ker f
2 .
D'après l'hypothèse, on a donc y ∈ Ker f, soit f (y) = 0, puis x = 0.
(c) ⇒
⇒⇒ (a)
Comme Im f
2
⊂ Im f, il reste à démontrer que Im f ⊂ Im f
2 .
Soit x = f (y) un élément de Im f . Utilisons l'hypothèse pour décomposer y sous la
forme :
y = a + f (b),
avec a ∈ Ker f. Alors x = f (y) = f (a) + f
2
(b) = f
2
(b) , ce qui montre que
x ∈ Im f
2 .Donc Im f
2
= Im f.
A p p l i c a t i o n
On considère deux endomorphismes f et g d'un espace vectoriel E de dimension finie
n tels que :
f + g bijectif et f ◦ g = 0.
Démontrez que rg f + rg g = n.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s