Les deux vecteurs 2e 1 − e 2 + e 4 et 2e 1 + 3e 2 − e 3 étant linéairement indépendants
constituent une base de Ker f.
Pour que Im f et Ker f soient supplémentaires, il suffit que la famille de vecteurs obtenue en juxtaposant une base de Im f et une base de Ker f soit libre, c'est-à-dire de
rang 4.
Pour déterminer ce rang, nous allons écrire des familles de vecteurs successives, toutes
de même rang jusqu'à obtenir un système triangulaire dont le rang est évident.
Pour ceci, il est courant d'utiliser une écriture en colonnes.
C 1 C 2 C 3 C 4
1 −1 2
2
0
1 −1 3
−1 1
0 −1
1
0
1
0
C 1 C
2
C
3
C
4
1
0
0
0
0
1 −1 3
−1 0
2
1
1
1 −1 −2
où l'on a posé : C
2 = C 2 + C 1 , C
3 = C 3 − 2C 1 , C
4 = C 4 − 2C 1 .
C 1 C
2 C
3
C
4
1
0
0
0
0
1
0
0
−1 0
2
1
1
1
0 −5
C 1 C
2 C
3
C
4
1
0
0
0
0
1
0
0
−1 0
2
0
1
1
0 −10
où l'on a posé :
C
3 = C
3 + C
2 , C
4 = C
4 − 3C
2 , puis C
4 = 2C
4 − C
3 .
On a rg(C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 ) = rg(C 1 ,C
2 ,C
3 ,C
4 ) = 4 .
Ainsi la famille obtenue par réunion d'une base de Im f et d'une base de Ker f est une
base de R
4 , ce qui démontre que Im f et Ker f sont supplémentaires.
A p p l i c a t i o n
Soit E un espace vectoriel de dimension n et f ∈ L(E).
Montrez que les trois propositions suivantes sont équivalentes :
(a) Im f = Im f
2 ; (b) Ker f = Ker f
2 ; (c) E = Im f ⊕ Ker f.
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F I C H E 1 6 – A p p l i c a t i o n s l i n é a i r e s
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