A p p l i c a t i o n
Soit R
4 considéré comme espace vectoriel sur R et muni de sa base canonique
B = (e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 ) .
Soit f l'endomorphisme de R
4 défini par :

 
 
f (e 1 ) =
e 1
−e 3
+e 4
f (e 2 ) = −e 1
+e 2
+e 3
f (e 3 ) = −e 1 +3e 2 +e 3 +2e 4
f (e 4 ) = −3e 1 +e 2 +3e 3 −2e 4
Déterminez le rang de la famille
f (e 1 ), f (e 2 ), f (e 3 ), f (e 4 )
.
Déduisez-en la dimension de Im f et une base de Im f.
Déterminez une base de Ker f.
Im f et Ker f sont-ils supplémentaires ?
S o l u t i o n
Une transformation élémentaire sur les vecteurs ne modifie pas l'espace vectoriel
engendré.
Le rang de la famille
f (e 1 ), f (e 2 ), f (e 3 ), f (e 4 )
est donc le même que celui de la
famille des 4 vecteurs :

 
 
f (e 1 )
= e 1
−e 3 +e 4
f (e 2 ) + f (e 1 ) =
e 2
+e 4
f (e 3 ) + f (e 1 ) =
3e 2
+3e 4
f (e 4 ) + 3 f (e 1 ) =
e 2
+e 4
On constate que :
f (e 1 ) + f (e 2 ) = 3 f (e 1 ) + f (e 4 ) =
1
3
f (e 1 ) + f (e 3 )
.
Par conséquent, Im f qui est engendré par
f (e 1 ), f (e 2 ), f (e 3 ), f (e 4 )
, est aussi
engendré par
f (e 1 ), f (e 2 )
.
Ces deux vecteurs sont linéairement indépendants puisqu'ils ne sont pas colinéaires.
Ils constituent donc une base de Im f et on a dim Im f = 2.
Le théorème du rang donne alors :
dim Ker f = dim R
4
− dim Im f = 4 − 2 = 2 .
Des combinaisons linéaires existant entre les f (e i ) , on déduit :
f (2e 1 − e 2 + e 4 ) = 0 = f (2e 1 + 3e 2 − e 3 ) .
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s