Base duale
Soit B = (e 1 ,. . . ,e n ) une base d'un espace vectoriel E de dimension finie.
Les formes linéaires coordonnées (ϕ 1 ,. . . ,ϕ n ) définies par :
∀i ∈ {1,. . . ,n} ∀j ∈ {1,. . . ,n}
ϕ i (e j ) = δ
j
i
constituent une base B
∗ de E
∗ appelée base duale de B.
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F I C H E 1 6 – A p p l i c a t i o n s l i n é a i r e s
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1
6
Le symbole de Kronecker δ
j
i vaut 1 si i = j et 0 si i /
= j.
V Détermination d'une application
linéaire
Soit A = (a 1 ,. . . ,a n ) une base de E et B = (b 1 ,. . . ,b n ) une famille de n vecteurs
de F.
Il existe une application linéaire unique f de E dans F telle que :
∀i ∈ {1,. . . ,n}
f (a i ) = b i .
On a : f injective ⇐⇒ B libre dans F ;
f surjective ⇐⇒ B engendre F ;
f bijective ⇐⇒ B est une base de F.
Conséquence : deux espaces vectoriels E et F de dimensions finies sont isomorphes si, et seulement si, dim E = dim F.