IV Rang d'une application linéaire
• Théorème du rang
Si E est de dimension finie, on a :
dim E = dim Ker f + dim Im f.
La dimension dim Im f est appelée rang de f, et souvent notée rg f.
• Théorème
Si E et F sont de même dimension finie, alors on a :
f bijective ⇐⇒ f injective ⇐⇒ f surjective.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
N'oubliez pas l'hypothèse sur E et F.
• Forme linéaire et hyperplan
Forme linéaire
Soit E un K-espace vectoriel. On appelle forme linéaire sur E toute application
linéaire de E dans K.
L'ensemble des formes linéaires sur E est le K-espace vectoriel L(E,K). On l'appelle l'espace dual de E et on le note E
∗ .
Si E est de dimension finie, on a dim E = dim E
∗ .
Écriture d'une forme linéaire
Si E est de dimension finie et admet (e 1 ,. . . ,e n ) pour base, toute forme linéaire f
sur E est de la forme :
x =
n
i=1
x i e i ∈ E → f (x) =
n
i=1
α i x i ∈ K
où les α i = f (e i ) sont des scalaires qui caractérisent f.
Forme linéaire et hyperplan
– Étant donnée une forme linéaire ϕ sur E non nulle, le sous-espace vectoriel
H = Ker ϕ est un hyperplan de E.
Toute forme linéaire ψ nulle sur H est colinéaire à ϕ.
– En dimension finie, un hyperplan admet donc une équation de la forme :
n
i=1
α i x i = 0 .