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F I C H E 1 6 – A p p l i c a t i o n s l i n é a i r e s
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– L'image par f d'un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F.
En particulier, f (E) est un sous-espace vectoriel de F appelé image de f, et noté
Im f. Il est engendré par les images des vecteurs d'une partie génératrice de E.
– L'image réciproque par f d'un sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E.
En particulier,
−1
f ({0}) est un sous-espace vectoriel de E. On l'appelle le noyau
de f, et on le note Ker f.
• Théorème
f surjective ⇐⇒ Im f = F ; f injective ⇐⇒ Ker f = {0}.
• Noyau d'une restriction
Soit f une application linéaire de E dans F et E 1 un sous-espace vectoriel de E.
La restriction de f à E 1 a pour noyau :
Ker
f |E 1
= Ker f ∩ E 1 .
La restriction de f à tout supplémentaire G de Ker f définit donc un isomorphisme
de G sur Im f .
• Réflexe utile pour les applications
f ◦ g = 0 ⇐⇒ Im g ⊂ Ker f .
III Image d'une famille de vecteurs
Soit f une application linéaire de E dans F.
• Image d'une famille génératrice
Si G engendre E, alors f (G) engendre f (E).
L'image d'une famille génératrice de E est une famille génératrice de F si, et seulement si, f est surjective.
• Image d'une famille libre
Si A est une partie liée dans E, alors f (A) est une partie liée dans F, ou, par
contraposition :
f (A) libre dans F ⇒ A libre dans E.
f est injective si, et seulement si, pour toute partie libre L de E, f (L) est une partie libre de F.
• Image d'une base
L'image d'une base de E est une base de F si, et seulement si, f est bijective.