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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Applications linéaires
I Généralités
• Définitions
Une application f de E dans F est dite linéaire si c'est un morphisme d'espaces vectoriels, c'est-à-dire si :
∀x ∈ E ∀y ∈ E ∀λ ∈ K
f (x + y) = f (x) + f (y) ; f (λ x) = λ f (x)
ou encore :
∀x ∈ E ∀y ∈ E ∀λ ∈ K ∀µ ∈ K
f (λ x + µ y) = λ f (x) + µ f (y) .
La propriété précédente s'étend à toute combinaison linéaire :
f
n
i=1
λ i x i
=
n
i=1
λ i f (x i ) .
Si f est bijective, c'est un isomorphisme ; si E = F, c'est un endomorphisme ; si f
est bijective avec E = F, c'est un automorphisme.
On note :
L (E,F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F,
L (E) l'ensemble des applications linéaires de E dans E,
GL(E) l'ensemble des automorphismes de E.
• Opérations algébriques
La composée de deux applications linéaires est linéaire.
Si f est un isomorphisme, f
−1 est aussi un isomorphisme.
L (E,F) est un espace vectoriel.
Si dim E = n et dim F = p, on a dim L (E,F) = np.
(GL(E),◦) est un groupe, appelé groupe linéaire de E.
II Noyau et image d'une application
linéaire
• Définitions
Soit f une application linéaire de E dans F.
FICHE 16