A p p l i c a t i o n
Soit a, b, c trois réels. Déterminez une base de R 2 [X] dans laquelle les coordonnées
de tout vecteur P sont
P(a),P
(b),P
(c)
.
S o l u t i o n
Il s'agit de déterminer trois polynômes A, B, C de R 2 [X] tels que :
∀P ∈ R 2 [X]
P = P(a) A + P
(b) B + P
(c) C .
Cette propriété devant être vérifiée pour tout P, écrivons-la pour les polynômes de la
base canonique (1,X,X
2
) de R 2 [X].
Avec P = 1, on obtient A = 1 ;
puis avec P = X , on obtient X = a + B, soit B = X − a ;
puis avec P = X
2 , on obtient X
2
= a
2
+ 2b (X − a) + 2C,
soit C =
1
2
(X
2
− 2bX + 2ab − a
2
) .
Comme d
◦ A = 0, d
◦ B = 1 et d
◦ C = 2, (A,B,C) est bien une base de R 2 [X] car,
comme les degrés sont tous distincts, c'est une famille libre ; et il y a autant de vecteurs que la dimension de R 2 [X].
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F I C H E 1 5 – E s p a c e s v e c t o r i e l s d e d i m e n s i o n f i n i e
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