S o l u t i o n
Pour grouper les deux questions, considérons un vecteur quelconque (a,b,c) de R
3 et
montrons qu'il s'écrit, de façon unique, comme combinaison linéaire en V 1 ,V 2 ,V 3 .
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Pour répondre à la première question seule, il suffit de montrer que (V 1 , V 2 , V 3 ) est une
famille libre, puisque cette famille comporte trois vecteurs dans un espace vectoriel de
dimension 3.
Il s'agit de montrer l'existence et l'unicité des trois réels α,β,γ tels que :
α +2β +4γ = a
4α +3β −γ = b
−α +β +2γ = c
⇐⇒
α +2β +4γ =
a
L 1
L 1
5β +17γ = 4a − b
L 2
4L 1 − L 2
3β
+6γ = a + c
L 3
L 1 + L 3
⇐⇒
α +2β +4γ =
a
L 1
L 1
5β +17γ =
4a − b
L 2
L 2
21γ = 7a − 3b − 5c
L 3
3L 2 − 5L 3
⇐⇒
21α +42β
= −7a + 12b + 20c
L 1
21L 1 − 4L 3
105β
= −35a + 30b + 85c
L 2
21L 2 − 17L 3
21γ =
7a − 3b − 5c
L 3
L 3
⇐⇒

    
    
α =
1
21
(7a − 14c)
β =
1
21
(−7a + 6b + 17c)
γ =
1
21
(7a − 3b − 5c)
On a donc démontré que (V 1 ,V 2 ,V 3 ) est une base de R
3 .
Avec a = 3, b = 5 et c = −3, on obtient α = 3, β = −2 et γ = 1, soit :
V 4 = 3V 1 − 2V 2 + V 3 .
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
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