A p p l i c a t i o n
Soit le R-espace vectoriel F
] − 1,1 [ , R
.
On considère le sous-espace vectoriel E engendré par ( f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) où les f i sont les
fonctions de ] − 1,1[ dans R définies par :
f 1 (x) =
1 + x
1 − x
; f 2 (x) =
1 − x
1 + x
;
f 3 (x) =
1
√
1 − x 2
; f 4 (x) =
x
√
1 − x 2
.
Déterminez une base de E. Déduisez-en la dimension de E.
S o l u t i o n
∀x ∈ ] − 1,1[
f 1 (x) + f 2 (x) =
1 + x + 1 − x
√
1 − x
√
1 + x
= 2 f 3 (x) .
∀x ∈ ] − 1,1[
f 1 (x) − f 2 (x) =
1 + x − 1 + x
√
1 − x
√
1 + x
= 2 f 4 (x) .
On a donc f 1 + f 2 = 2 f 3 et f 1 − f 2 = 2 f 4 .
Par conséquent, E est aussi le sous-espace vectoriel de F
] − 1,1 [ , R
engendré
par ( f 1 , f 2 ).
Montrons qu'il s'agit d'une famille libre.
Soit λ 1 et λ 2 des réels tels que λ 1 f 1 + λ 2 f 2 = 0, c'est-à-dire :
∀x ∈ ] − 1,1[
λ 1
1 + x
1 − x
+ λ 2
1 − x
1 + x
= 0 .
Pour x = 0, il vient λ 1 + λ 2 = 0.
Pour x =
1
2
, il vient λ 1
√
3 + λ 2
1
√
3
= 0.
On en déduit λ 1 = λ 2 = 0.
Comme ( f 1 , f 2 ) est une famille libre qui engendre E, c'est une base de E, qui est donc
un R-espace vectoriel de dimension 2.
A p p l i c a t i o n
Dans R
3 , on considère les vecteurs :
V 1 (1,4,−1) ; V 2 (2,3,1) ;V 3 (4,−1,2) ; V 4 (3,5,−3) .
Montrez que (V 1 ,V 1 ,V 3 ) est une base de R
3 . Déterminez les coordonnées de V 4 dans
cette base.
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F I C H E 1 5 – E s p a c e s v e c t o r i e l s d e d i m e n s i o n f i n i e
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