• Dimension d'une somme
– Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, on a :
dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G) .
En particulier, si F et G sont en somme directe :
dim(F ⊕ G) = dim F + dim G .
– Tout sous-espace vectoriel F de E admet des supplémentaires, qui ont tous pour
dimension : dim E − dim F .
– F et G sont supplémentaires dans E si, et seulement si, en réunissant une base de
F et une base de G, on obtient une base de E.
On dit qu'on a choisi une base de E adaptée à la somme directe.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Attention à ne pas partir d'une base de E, car il n'y a aucune raison de pouvoir en extraire une base de F et une base de G , ni même des vecteurs de F ou de G .
• Généralisation
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et des sous-espaces vectoriels E i de
E en nombre fini.
Si la somme
i∈I
E i est directe, alors :
dim
i∈I
E i =
i∈I
dimE i .
Pour que E =
i∈I E i , il faut et il suffit que :
dimE =
i∈I
dimE i .
Si aucun E i n'est réduit à {0}, la réunion d'une base de chaque E i constitue une
base de E si, et seulement si, E =
i∈I E i .
• Rang d'une famille de vecteurs
Le rang d'une famille finie de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel
qu'ils engendrent.
C'est aussi le nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants que l'on
peut extraire de la famille.