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F I C H E 1 5 – E s p a c e s v e c t o r i e l s d e d i m e n s i o n f i n i e
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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• Dimension d'un espace vectoriel
Si E possède une base comportant un nombre fini n de vecteurs, on dit que E est
de dimension finie.
Dans ce cas, toute base de E comporte aussi n vecteurs. On dit que n est la dimension de E ; on la note dim E .
On convient que l'espace vectoriel {0} est de dimension nulle.
• Recherche de bases
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n.
Toute famille libre de E a au plus n vecteurs. Si elle comporte n vecteurs, c'est une
base.
Toute famille génératrice de E a au moins n vecteurs. Si elle comporte n vecteurs,
c'est une base.
Si on connaît déjà la dimension n de E, et si on considère une famille de n vecteurs, pour
démontrer que c'est une base, il suffit de démontrer : soit que la famille est libre, soit que
la famille est génératrice.
• Dimension d'un produit cartésien E × F
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies.
Si (e 1 ,. . . ,e n ) est une base de E, et ( f 1 ,. . . , f p ) une base de F, alors l'ensemble des
couples (e i ,0) et (0, f j ) où 1 i n et 1 j p , est une base de E × F.
Par conséquent :
dim(E × F) = dim E + dim F .
II Cas d'un sous-espace vectoriel
• Dimension d'un sous-espace vectoriel
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E.
– F est alors de dimension finie, et l'on a : dim F dim E.
– Si dim F = dim E, alors F = E.
L'égalité des dimensions ne suffit pas pour conclure que F = E. Il faut aussi une inclusion de l'un des espaces vectoriels dans l'autre.
– Si dim F = dim E − 1, on dit que F est un hyperplan de E.
Comme exemples d'hyperplans, vous pouvez penser à une droite dans le plan ou à un
plan dans l'espace à trois dimensions.
F I C H E 1 5 – E s p a c e s v e c t o r i e l s d e d i m e n s i o n f i n i e
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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• Dimension d'un espace vectoriel
Si E possède une base comportant un nombre fini n de vecteurs, on dit que E est
de dimension finie.
Dans ce cas, toute base de E comporte aussi n vecteurs. On dit que n est la dimension de E ; on la note dim E .
On convient que l'espace vectoriel {0} est de dimension nulle.
• Recherche de bases
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n.
Toute famille libre de E a au plus n vecteurs. Si elle comporte n vecteurs, c'est une
base.
Toute famille génératrice de E a au moins n vecteurs. Si elle comporte n vecteurs,
c'est une base.
Si on connaît déjà la dimension n de E, et si on considère une famille de n vecteurs, pour
démontrer que c'est une base, il suffit de démontrer : soit que la famille est libre, soit que
la famille est génératrice.
• Dimension d'un produit cartésien E × F
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies.
Si (e 1 ,. . . ,e n ) est une base de E, et ( f 1 ,. . . , f p ) une base de F, alors l'ensemble des
couples (e i ,0) et (0, f j ) où 1 i n et 1 j p , est une base de E × F.
Par conséquent :
dim(E × F) = dim E + dim F .
II Cas d'un sous-espace vectoriel
• Dimension d'un sous-espace vectoriel
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E.
– F est alors de dimension finie, et l'on a : dim F dim E.
– Si dim F = dim E, alors F = E.
L'égalité des dimensions ne suffit pas pour conclure que F = E. Il faut aussi une inclusion de l'un des espaces vectoriels dans l'autre.
– Si dim F = dim E − 1, on dit que F est un hyperplan de E.
Comme exemples d'hyperplans, vous pouvez penser à une droite dans le plan ou à un
plan dans l'espace à trois dimensions.