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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Espaces vectoriels
de dimension finie
I Cas d'un espace vectoriel
• Dépendance et indépendance linéaire
On dit qu'une famille (x 1 ,. . . ,x n ) de vecteurs de E est une famille libre, ou que les
vecteurs sont linéairement indépendants, si :
n
i=1
λ i x i = 0 ⇒ ∀i ∈ {1,. . . ,n} λ i = 0 .
Dans le cas contraire, on dit que la famille est liée, ou que les vecteurs sont linéairement dépendants.
Toute sous-famille non vide d'une famille libre est libre.
Pour qu'une famille (x 1 ,. . . ,x n ) soit liée, il faut, et il suffit, que l'un de ses éléments
soit combinaison linéaire des autres.
FICHE 15
Cas particuliers : une famille qui contient le vecteur 0 est liée ; deux vecteurs sont liés si,
et seulement si, ils sont colinéaires.
• Bases
– On appelle base d'un espace vectoriel E toute famille libre de E qui engendre E.
– La famille (e 1 ,. . . ,e n ) est une base de E si, et seulement si, tout vecteur x de E
peut s'écrire de façon unique sous la forme :
x =
n
i=1
x i e i .
Les scalaires x i sont les composantes du vecteur x.
– Théorème de la base incomplète
Si E est un espace vectoriel non réduit à {0}, toute famille libre de E peut être
complétée en une base de E.
– Tout espace vectoriel non réduit à {0} possède au moins une base.
Attention à ne jamais écrire ou dire la base de E, car il n'y a pas unicité.