A p p l i c a t i o n
Soit F(R,R) l'espace vectoriel des fonctions de R dans R. On désigne par P l'ensemble des fonctions paires et par I l'ensemble des fonctions impaires.
Démontrez que F(R,R) = P ⊕ I.
Quelle est la décomposition de la fonction exponentielle ?
S o l u t i o n
• Démontrons d'abord l'unicité d'une décomposition. Soit f une fonction quelconque de
R dans R et supposons qu'il existe une fonction paire g et une fonction impaire h
telles que f = g + h. On a alors :
∀x ∈ R
f (x) = g(x) + h(x)
∀x ∈ R
f (−x) = g(−x) + h(−x) = g(x) − h(x) .
On a donc, pour tout x ∈ R, g(x) =
f (x) + f (−x)
2
et h(x) =
f (x) − f (−x)
2
,
ce qui prouve l'unicité d'une éventuelle décomposition.
• Le calcul précédent va inspirer la démonstration de l'existence d'une décomposition.
Soit f une fonction quelconque de R dans R.
Considérons les fonctions g et h , de R dans R, définie pour tout x par :
g(x) =
f (x) + f (−x)
2
et h(x) =
f (x) − f (−x)
2
·
On a bien :
∀x ∈ R
f (x) = g(x) + h(x) , soit f = g + h.
et, d'autre part :
∀x ∈ R
g(−x) =
f (−x) + f (x)
2
= g(x) , soit g paire ;
∀x ∈ R
h(−x) =
f (−x) − f (x)
2
= −h(x) , soit h impaire.
On a donc décomposé f comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire,
ce qui achève de démontrer que F(R,R) = P ⊕ I .
• Si f est la fonction exponentielle, g est la fonction cosinus hyperbolique et h la fonction sinus hyperbolique.
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F I C H E 1 4 – E s p a c e s v e c t o r i e l s
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