Il appartient donc aussi à Vect(y 1 ,x 2 ,. . . ,x n ).
La double inclusion que nous venons de démontrer prouve l'égalité :
Vect(y 1 ,x 2 ,. . . ,x n ) = Vect(x 1 ,x 2 ,. . . ,x n ) .
70
A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Comme l'espace vectoriel engendré n'est pas modifié par l'opération élémentaire effectuée, nous obtenons un outil efficace dans la recherche du rang d'une famille de vecteurs.
A p p l i c a t i o n
Déterminez les réels x et y pour que le vecteur (2,3,x,y) appartienne au sous-espace
vectoriel de R
4 engendré par (2,−1,3,5) et (1,3,7,2).
S o l u t i o n
Pour que le vecteur (2,3,x,y) appartienne au sous-espace vectoriel de R
4 engendré par
(2,−1,3,5) et (1,3,7,2), il faut et il suffit qu'il existe des réels α et β tels que :
(2,3,x,y) = α (2,−1,3,5) + β (1,3,7,2) ,
soit :
2α + β = 2 (1)
−α + 3β = 3 (2)
3α + 7β = x (3)
5α + 2β = y (4)
La résolution du sous-système formé par les équations (1) et (2) donne α =
3
7
et
β =
8
7
·
Pour que les équations (3) et (4) soient compatibles, il faut que x et y vérifient les égalités obtenues en reportant ces valeurs, soit x =
65
7
et y =
31
7
·
La double inclusion que nous venons de démontrer prouve l'égalité :
Vect(y 1 ,x 2 ,. . . ,x n ) = Vect(x 1 ,x 2 ,. . . ,x n ) .
70
A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Comme l'espace vectoriel engendré n'est pas modifié par l'opération élémentaire effectuée, nous obtenons un outil efficace dans la recherche du rang d'une famille de vecteurs.
A p p l i c a t i o n
Déterminez les réels x et y pour que le vecteur (2,3,x,y) appartienne au sous-espace
vectoriel de R
4 engendré par (2,−1,3,5) et (1,3,7,2).
S o l u t i o n
Pour que le vecteur (2,3,x,y) appartienne au sous-espace vectoriel de R
4 engendré par
(2,−1,3,5) et (1,3,7,2), il faut et il suffit qu'il existe des réels α et β tels que :
(2,3,x,y) = α (2,−1,3,5) + β (1,3,7,2) ,
soit :
2α + β = 2 (1)
−α + 3β = 3 (2)
3α + 7β = x (3)
5α + 2β = y (4)
La résolution du sous-système formé par les équations (1) et (2) donne α =
3
7
et
β =
8
7
·
Pour que les équations (3) et (4) soient compatibles, il faut que x et y vérifient les égalités obtenues en reportant ces valeurs, soit x =
65
7
et y =
31
7
·