A p p l i c a t i o n
Dans R
3 considéré comme R-espace vectoriel, les parties suivantes sont-elles des
sous-espaces vectoriels ?
1. E 1 = {(x,y,z) ∈ R
3
; x + y = 0} ;
2. E 2 = {(x,y,z) ∈ R
3
; xy = 0}.
S o l u t i o n
1. E 1 est l'ensemble des vecteurs de R
3 de la forme
(x,−x,z) = x (1,−1,0) + z (0,0,1) avec x et z réels quelconques.
E 1 est donc égal à Vect
(1,−1,0),(0,0,1)
, ce qui prouve que c'est un sous-espace
vectoriel de R
3 qui admet
(1,−1,0),(0,0,1)
comme famille génératrice.
2. Les vecteurs (1,0,0) et (0,1,0) appartiennent à E 2 alors que ce n'est pas le cas de
leur somme (1,1,0) .
E 2 n'est donc pas un sous-espace vectoriel de R
3 .
A p p l i c a t i o n
Soit x 1 ,. . . ,x n des vecteurs d'un espace vectoriel E.
On pose y 1 =
n
i=1
λ i x i avec λ 1 = / 0 . Montrez que :
Vect(y 1 ,x 2 ,. . . ,x n ) = Vect(x 1 ,x 2 ,. . . ,x n ) .
S o l u t i o n
Tout vecteur z de Vect(y 1 ,x 2 ,. . . ,x n ) peut s'écrire sous la forme
z = α 1 y 1 + α 2 x 2 + · · · + α n x n où les α i sont des scalaires.
On a donc aussi z = α 1 λ 1 x 1 + (α 1 λ 2 + α 2 ) x 2 + · · · + (α 1 λ n + α n ) x n ,
ce qui prouve que z ∈ Vect(x 1 ,x 2 ,. . . ,x n ) .
Réciproquement, tout vecteur de Vect(x 1 ,x 2 ,. . . ,x n ) s'écrit :
z = β 1 x 1 + · · · + β n x n
=
β 1
λ 1
(λ 1 x 1 + · · · + λ n x n ) + (β 2 −
β 1 λ 2
λ 1
)x 2 + · · · + (β n −
β 1 λ n
λ 1
)x n .
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F I C H E 1 4 – E s p a c e s v e c t o r i e l s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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