• Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
Définitions
Quand tout vecteur x de F = E 1 + E 2 s'écrit, de façon unique, sous la forme
x = x 1 + x 2 avec x 1 ∈ E 1 et x 2 ∈ E 2 , on dit que F est somme directe de E 1 et de
E 2 , et on note F = E 1 ⊕ E 2 .
On dit aussi que E 1 et E 2 sont supplémentaires dans F.
Théorème
E = E 1 ⊕ E 2 ⇐⇒ E = E 1 + E 2 et E 1 ∩ E 2 = {0} .
• Généralisation
Somme de sous-espaces vectoriels
Soit (E i ) i∈I une famille finie de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E.
On appelle somme des E i , et on note
i∈I
E i , l'ensemble des vecteurs du type
i∈I
x i
où x i ∈ E i pour tout i ∈ I.
i∈I
E i est le sous-espace vectoriel engendré par
i∈I
E i .
Si I = {1,. . . ,n}, la somme se note aussi E 1 + · · · + E n .
Somme directe de sous-espaces vectoriels
Quand tout vecteur x de
i∈I
E i s'écrit de façon unique sous la forme
i∈I
x i avec
x i ∈ E i pour tout i ∈ I, on dit que la somme des E i est directe et on la note
i∈I
E i .
Si I = {1,. . . ,n}, on note aussi E 1 ⊕ · · · ⊕ E n .
68
A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Pour démontrer que la somme des E i est directe, la méthode la plus rapide est de partir
d'une somme nulle x 1 + · · · + x n = 0 avec x i ∈ E i pour tout i, et de démontrer que cela
entraîne que tous les x i sont nuls.