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F I C H E 1 4 – E s p a c e s v e c t o r i e l s
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De ce fait, les éléments neutres pour l'addition de K et de E, 0 K et 0 E , seront représentés par le même symbole 0 sans inconvénient.
II Sous-espaces vectoriels
• Définition
Une partie non vide F d'un K-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E
si elle est stable pour les deux lois, et si la restriction à F des lois de E définit dans
F une structure d'espace vectoriel.
En fait, il faut et il suffit que F vérifie :
∀λ ∈ K ∀x ∈ F ∀y ∈ F
x+ y ∈ F
λ x ∈ F ;
ou encore :
∀λ ∈ K ∀x ∈ F ∀y ∈ F
x+ λ y ∈ F .
Attention, la réunion de sous-espaces vectoriels n'est pas en général un sous-espace
vectoriel.
– L'intersection F de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant une partie A
donnée est le sous-espace vectoriel engendré par A. C'est le plus petit (au sens de
l'inclusion) sous-espace vectoriel contenant A.
On dit aussi que A est une partie génératrice de F. On note F = Vect(A).
– Le sous-espace vectoriel engendré par A est égal à l'ensemble des combinaisons
linéaires finies de vecteurs de A, c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs du type :
n
i=1
λ i x i avec n ∈ N
∗ , ∀i λ i ∈ K x i ∈ A.
• Somme de deux sous-espaces vectoriels
E 1 et E 2 étant deux sous-espaces vectoriels de E, on appelle somme de E 1 et de
E 2 , et on note E 1 + E 2 , l'ensemble des vecteurs du type x 1 + x 2 où x 1 ∈ E 1 et
x 2 ∈ E 2 .
E 1 + E 2 est le sous-espace vectoriel engendré par E 1 ∪ E 2 .
Pour montrer que F n'est pas vide, on vérifie en général que 0 ∈ F.
• Sous-espace engendré par une partie
– Toute intersection de sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel
de E.