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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Espaces vectoriels
I Définitions et premières propriétés
• Espace vectoriel
Soit K un corps d'éléments neutres notés 0 et 1.
On dit qu'un ensemble non vide E est un espace vectoriel sur K, ou est un Kespace vectoriel, s'il est muni :
– d'une loi de composition interne notée + ;
– d'une loi de composition externe sur K, c'est-à-dire d'une application qui à
(λ,x) ∈ K × E fait correspondre λ x ∈ E, telles que :
(E,+) est un groupe commutatif,
∀λ ∈ K ∀µ ∈ K ∀x ∈ E ∀y ∈ E
(λ µ) x = λ (µ x) ;
(λ + µ) x = λ x + µ x ; λ (x + y) = λ x + λ y ; 1x = x .
Les éléments de E sont des vecteurs ; les éléments de K sont des scalaires.
• Exemples
– L'ensemble des vecteurs du plan ou de l'espace est un R-espace vectoriel.
– K est un espace vectoriel sur K.
– C est un C-espace vectoriel, mais aussi un R-espace vectoriel.
– Le produit E 1 × · · · × E n de n espaces vectoriels sur le même corps K est un
K-espace vectoriel pour les lois :
(x 1 ,. . . ,x n ) + (y 1 ,. . . ,y n ) = (x 1 + y 1 ,. . . ,x n + y n )
λ (x 1 ,. . . ,x n ) = (λ x 1 ,. . . ,λ x n ).
– L'ensemble F(X,F) des applications d'un ensemble X dans un espace vectoriel
F, est un espace vectoriel pour les opérations f + g et λ f.
– L'ensemble K[X] des polynômes à coefficients dans K, l'ensemble K n [X] des
polynômes de degré n, sont des K-espaces vectoriels.
• Propriété
∀λ ∈ K ∀x ∈ E
λ x = 0 E ⇐⇒ λ = 0 K ou x = 0 E .
FICHE 14