A p p l i c a t i o n
En discutant suivant les valeurs de a,b,c, résolvez le système linéaire :
(S)

 
 
3x − 5y + z = a
x + 2y − 3z = b
5x − 12y + 5z = c
S o l u t i o n
L'algorithme du pivot de Gauss permet d'écrire des systèmes équivalents :
(S) ⇐⇒
x + 2y − 3z = b
L 1
L 2
11y − 10z = 3b − a
L 2
3L 2 − L 1
22y − 20z = 5b − c
L 3
5L 2 − L 3
⇐⇒
x + 2y − 3z = b
L 1
L 1
11y − 10z = 3b − a
L 2
L 2
0 = b − 2a + c
L 3
2L 2 − L 3
– Si b − 2a + c = / 0 , le système est impossible.
– Si b − 2a + c = 0 , le système est de rang 2.
On peut, par exemple, prendre z comme inconnue secondaire et calculer x et y, ce qui
donne l'ensemble des solutions exprimées avec un paramètre :

    
    
x =
1
11
(2a + 5b + 13λ)
y =
1
11
(−a + 3b + 10λ)
z = λ
λ ∈ R .
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F I C H E 1 3 – S y s t è m e s l i n é a i r e s
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