A p p l i c a t i o n
Résolvez le système linéaire :
(S)

 
 
x 1 + 2x 2 − x 3 = 1
2x 1 − 3x 2 + 2x 3 = −2
3x 1 + x 2 − x 3 = 3
S o l u t i o n
L'algorithme du pivot de Gauss permet d'écrire des systèmes équivalents :
(S) ⇐⇒
x 1 + 2x 2 − x 3 = 1
L 1
L 1
7x 2 − 4x 3 = 4
L 2
2L 1 − L 2
5x 2 − 2x 3 = 0
L 3
3L 1 − L 3
⇐⇒
x 1 + 2x 2 − x 3 =
1
L 1
L 1
7x 2 − 4x 3 =
4
L 2
L 2
6x 3 = −20
L 3
−5L 2 + 7L 3
Le système obtenu est triangulaire à trois équations. Le système (S) est donc de rang
3 et admet une solution unique. On peut finir la résolution par des substitutions, ou
poursuivre avec le même algorithme (méthode de Gauss-Jordan).
⇐⇒
6x 1 + 12x 2
= −14
L 1
6L 1 + L 3
21x 2
= −28
L 2
3L 2 + 2L 3
6x 3 = −20
L 3
L 3
⇐⇒
−42x 1
= −14
L 1
−7L 1 + 4L 2
21x 2
= −28
L 2
L 2
6x 3 = −20
L 3
L 3
La solution de (S) est donc :
x 1 =
1
3
; x 2 = −
4
3
; x 3 = −
10
3
.
64
A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
−→
−→
−→
−→
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−→
−→
−→
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−→
−→
−→