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F I C H E 1 3 – S y s t è m e s l i n é a i r e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1
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• Méthode du pivot de Gauss
En permutant éventuellement deux inconnues et deux équations, on peut supposer
que a 11 = / 0.
Pour i > 1 , les transformations E i
E i −
a i1
a 11
E 1 (remplacement de E i par
E i −
a i1
a 11
E 1 ) conduisent à un système équivalent et éliminent l'inconnue x 1 dans
les équations autres que E 1 .
Le terme a 11 est le pivot de l'étape de l'algorithme.
En réitérant le procédé, on aboutit à un système en escalier.
• Rang d'un système
Le nombre d'équations du système (non impossible) réduit en escalier obtenu par
la méthode de Gauss est le rang r du système (S).
• Inconnues principales, inconnues secondaires
Soit r le rang de (S) et p le nombre d'inconnues.
Si r = p, (S) a une solution unique. On dit que le système est de Cramer.
Si p > r, (S) a une infinité de solutions. Les r inconnues qui figurent au début des
r équations issues de la méthode de Gauss sont les inconnues principales. Elles
peuvent se calculer de façon unique en fonction des p − r autres inconnues, dites
inconnues secondaires.
Le choix des inconnues principales et secondaires d'un système est largement arbitraire. Mais leur nombre est toujours le même.
−→
F I C H E 1 3 – S y s t è m e s l i n é a i r e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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• Méthode du pivot de Gauss
En permutant éventuellement deux inconnues et deux équations, on peut supposer
que a 11 = / 0.
Pour i > 1 , les transformations E i
E i −
a i1
a 11
E 1 (remplacement de E i par
E i −
a i1
a 11
E 1 ) conduisent à un système équivalent et éliminent l'inconnue x 1 dans
les équations autres que E 1 .
Le terme a 11 est le pivot de l'étape de l'algorithme.
En réitérant le procédé, on aboutit à un système en escalier.
• Rang d'un système
Le nombre d'équations du système (non impossible) réduit en escalier obtenu par
la méthode de Gauss est le rang r du système (S).
• Inconnues principales, inconnues secondaires
Soit r le rang de (S) et p le nombre d'inconnues.
Si r = p, (S) a une solution unique. On dit que le système est de Cramer.
Si p > r, (S) a une infinité de solutions. Les r inconnues qui figurent au début des
r équations issues de la méthode de Gauss sont les inconnues principales. Elles
peuvent se calculer de façon unique en fonction des p − r autres inconnues, dites
inconnues secondaires.
Le choix des inconnues principales et secondaires d'un système est largement arbitraire. Mais leur nombre est toujours le même.
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