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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Systèmes linéaires
I Généralités
Un système de n équations linéaires à p inconnues, à coefficients dans K, est de la
forme :
(S)
a 11 x 1 + · · · + a 1 p x p = b 1
. . .
. . .
a n1 x 1 + · · · + a np x p = b n
Les coefficients a i j et les seconds membres b i sont des éléments donnés de K.
Les inconnues x 1 ,. . . ,x p sont à chercher dans K.
Le système homogène associé à (S) est le système obtenu en remplaçant les b i par 0.
Une solution est un p-uplet (x 1 ,. . . ,x p ) qui vérifie (S). Résoudre (S), c'est chercher
toutes les solutions.
Un système est impossible, ou incompatible, s'il n'admet pas de solution.
Deux systèmes sont équivalents s'ils ont les mêmes solutions.
II Méthodes de résolution
• Systèmes en escalier
Réduction
Quand un système contient une équation du type :
0 x 1 + · · · + 0 x n = b ,
si b = / 0, le système est impossible ;
si b = 0, on peut supprimer cette équation, ce qui conduit au sytème réduit.
Définition
Un système (S) est en escalier, ou échelonné, si, après réduction, le nombre de premiers coefficients nuls successifs de chaque équation est strictement croissant.
FICHE 13
A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Systèmes linéaires
I Généralités
Un système de n équations linéaires à p inconnues, à coefficients dans K, est de la
forme :
(S)
a 11 x 1 + · · · + a 1 p x p = b 1
. . .
. . .
a n1 x 1 + · · · + a np x p = b n
Les coefficients a i j et les seconds membres b i sont des éléments donnés de K.
Les inconnues x 1 ,. . . ,x p sont à chercher dans K.
Le système homogène associé à (S) est le système obtenu en remplaçant les b i par 0.
Une solution est un p-uplet (x 1 ,. . . ,x p ) qui vérifie (S). Résoudre (S), c'est chercher
toutes les solutions.
Un système est impossible, ou incompatible, s'il n'admet pas de solution.
Deux systèmes sont équivalents s'ils ont les mêmes solutions.
II Méthodes de résolution
• Systèmes en escalier
Réduction
Quand un système contient une équation du type :
0 x 1 + · · · + 0 x n = b ,
si b = / 0, le système est impossible ;
si b = 0, on peut supprimer cette équation, ce qui conduit au sytème réduit.
Définition
Un système (S) est en escalier, ou échelonné, si, après réduction, le nombre de premiers coefficients nuls successifs de chaque équation est strictement croissant.
FICHE 13