A p p l i c a t i o n
Pour n ∈ N
∗ , on pose u n =
2n
3
+ 6n
2
+ 7n + 2
n 2 (n + 1) 2 (n + 2)
.
Déterminez la limite de la suite
v n
définie pour n ∈ N
∗ par v n =
n
p=1
u p .
S o l u t i o n
Considérons la fraction rationnelle :
F =
2X
3
+ 6X
2
+ 7X + 2
X 2 (X + 1) 2 (X + 2)
.
La forme de sa décomposition en éléments simples est :
F =
a
X
+
b
X 2 +
c
X + 1
+
d
(X + 1) 2 +
e
X + 2
où a, b, c, d et e sont des réels à déterminer.
En remplaçant X par 0 dans X
2 F, on obtient b = 1.
En remplaçant X par −1 dans (X + 1)
2 F , on obtient d = −1.
En remplaçant X par −2 dans (X + 2) F , on obtient e = −1.
On a lim
X→+∞
X F(X) = 0 = a + c + e, ce qui donne a + c = 1.
En considérant F(1) =
17
12
on obtient 1 = a +
c
2
d'où a = 1 et c = 0.
En définitive :
F =
1
X
+
1
X 2 −
1
(X + 1) 2 −
1
X + 2
.
On a donc :
v n =
n
p=1
1
p
−
n
p=1
1
p + 2
1 +
1
2
−
1
n+1
−
1
n+2
+
n
p=1
1
p 2 −
n
p=1
1
( p + 1) 2
1 −
1
(n+1)
2
ce qui donne après simplification :
v n =
5
2
−
1
n + 1
−
1
n + 2
−
1
(n + 1) 2 d'où : lim
n→+∞
v n =
5
2
·
61
F I C H E 1 2 – Fr a c t i o n s r a t i o n n e l l e s
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