A p p l i c a t i o n
Décomposez en éléments simples la fraction rationnelle :
F =
X
(X + 1) 2 (X − 1) 2
.
S o l u t i o n
Il n'y a pas de partie entière, puisque le degré du numérateur est strictement inférieur
à celui du dénominateur.
La décomposition de F en éléments simples est de la forme :
F =
a
(X + 1) 2 +
b
X + 1
+
c
(X − 1) 2 +
d
(X − 1)
,
où a, b, c, d sont des réels à déterminer.
En remplaçant X par −1 dans (X + 1)
2 F, on obtient a = −
1
4
.
En remplaçant X par 1 dans (X − 1)
2 F, on obtient c =
1
4
.
La fonction rationnelle associée à F est impaire. L'unicité de la décomposition en éléments simples entraîne alors :
a = −c et b = d.
En multipliant par X et en faisant tendre X vers +∞ , on obtient de plus b + d = 0.
Par conséquent b = d = 0. La décomposition est donc :
F =
1
4
−1
(X + 1) 2 +
1
(X − 1) 2
.
60
A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Décomposez en éléments simples la fraction rationnelle :
F =
X
(X + 1) 2 (X − 1) 2
.
S o l u t i o n
Il n'y a pas de partie entière, puisque le degré du numérateur est strictement inférieur
à celui du dénominateur.
La décomposition de F en éléments simples est de la forme :
F =
a
(X + 1) 2 +
b
X + 1
+
c
(X − 1) 2 +
d
(X − 1)
,
où a, b, c, d sont des réels à déterminer.
En remplaçant X par −1 dans (X + 1)
2 F, on obtient a = −
1
4
.
En remplaçant X par 1 dans (X − 1)
2 F, on obtient c =
1
4
.
La fonction rationnelle associée à F est impaire. L'unicité de la décomposition en éléments simples entraîne alors :
a = −c et b = d.
En multipliant par X et en faisant tendre X vers +∞ , on obtient de plus b + d = 0.
Par conséquent b = d = 0. La décomposition est donc :
F =
1
4
−1
(X + 1) 2 +
1
(X − 1) 2
.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s