59
F I C H E 1 2 – Fr a c t i o n s r a t i o n n e l l e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1
2
• Théorème de décomposition
Toute fraction rationnelle, écrite sous forme irréductible, est égale, de façon
unique, à la somme de sa partie entière et des parties polaires relatives à chacun des
facteurs irréductibles intervenant dans la décomposition de B.
II Méthodes pratiques
de décomposition
• Plan d'étude
On met F sous forme irréductible en simplifiant par le PGCD du numérateur et du
dénominateur.
On obtient E et R à l'aide de la division euclidienne de A par B.
On factorise B en polynômes irréductibles.
On écrit la forme littérale de la décomposition en éléments simples de F, ou de
R
B
·
On détermine les coefficients à l'aide de diverses méthodes.
• Détermination des coefficients
La méthode la plus rudimentaire consiste à réduire au même dénominateur la
forme décomposée et à identifier les numérateurs.
Vous pouvez remplacer X par des valeurs numériques, différentes des pôles.
Sachant que la décomposition est unique, si F est paire, ou impaire, on obtient des
relations entre les coefficients.
En utilisant la fraction sans partie entière, lim
x→∞
x F(x) donne une relation entre
coefficients.
En multipliant F par (X − a)
k et en remplaçant X par a, on obtient α k .
Si a est un pôle simple, la partie polaire associée
α
X − a
vérifie :
α =
A(a)
B (a)
.
Soit P un polynôme dont les racines sont a 1 ,. . . ,a k , d'ordre de multiplicité respectifs m 1 ,. . . ,m k . On a :
P
(X)
P(X)
=
k
i=1
m i
X − a i
.