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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Fractions
rationnelles
I Décomposition en éléments simples
• Définitions
De façon analogue à un nombre rationnel quotient de deux entiers, on définit une
fraction rationnelle
A
B
à partir des polynômes A et B avec B = / 0.
F =
A
B
étant une fraction rationnelle irréductible, la fonction rationnelle associée
à F est la fonction ˜
F, de K dans K, définie par :
x → ˜
F(x) =
˜
A(x)
˜
B(x)
quand ˜
B(x) = / 0.
˜
F n'est pas définie pour les zéros de B. Ce sont les pôles de F.
• Forme générale de la décomposition
Une fraction rationnelle, de forme irréductible F =
A
B
, s'écrit de façon unique,
sous la forme :
F = E +
R
B
avec d
◦ R < d
◦ B.
E est la partie entière et
R
B
la partie fractionnaire de F.
• Partie polaire quand K = C
Si la factorisation de B en polynômes irréductibles comporte un terme (X − a)
k
avec k ∈ N
∗ , on appelle partie polaire de F relative à ce terme une somme d'éléments simples du type :
α k
(X − a) k +
α k−1
(X − a) k−1 + · · · +
α 1
X − a
.
Pour une fraction F donnée, les complexes α i existent et sont uniques.
FICHE 12