A p p l i c a t i o n
Déterminez trois nombres complexes dont la somme est 2, la somme des carrés 2, la
somme des cubes 8.
S o l u t i o n
L'énoncé fait penser aux relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme.
On va donc chercher les nombres x 1 ,x 2 ,x 3 comme racines de :
(X − x 1 )(X − x 2 )(X − x 3 ) = X
3
− σ 1 X
2
+ σ 2 X − σ 3
où :
σ 1 = x 1 + x 2 + x 3 ; σ 2 = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 ; σ 3 = x 1 x 2 x 3 .
On connaît σ 1 = 2 , puis on calcule :
4 = (x 1 + x 2 + x 3 )
2
= x
2
1 + x
2
2 + x
2
3 + 2σ 2 = 2 + 2σ 2 d'où σ 2 = 1 ,
8 = (x 1 + x 2 + x 3 )
3
= x
3
1 + x
3
2 + x
3
3 + 3(x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 ) − 3x 1 x 2 x 3
= 8 + 6 − 3σ 3 d’où σ 3 = 2
.
Les nombres cherchés sont donc les racines du polynôme :
P = X
3
− 2X
2
+ X − 2.
Comme P(2) = 0, P est divisible par X − 2 . Après avoir effectué la division on
obtient :
P = (X − 2)(X
2
+ 1) .
Les nombres cherchés sont donc : 2, i, −i.
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F I C H E 1 1 – Po l y n ô m e s
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