A p p l i c a t i o n
Déterminez le reste de la division euclidienne de A n = (cos α + sin α X)
n par
(X
2
+ 1)
2 .
S o l u t i o n
Il existe des polynômes Q n et R n de R[X] uniques tels que :
(∗) (cos α + sin α X)
n
= (X
2
+ 1)
2 Q n + R n avec d
◦ R n 3.
Si n 3, alors R n = A n .
Supposons donc que n 4, et écrivons R n = a + bX + cX
2
+ d X
3 .
En donnant à X la valeur i, on obtient R n (i) = e
inα
= a − c + (b − d) i .
On en déduit :
a − c = cos nα
b − d = sin nα
Dérivons l'égalité (∗) par rapport à X. Il vient :
n sin α (cos α + sin α X)
n−1
= (X
2
+ 1)
(X
2
+ 1) Q
n + 4X Q n
+ b + 2cX + 3d X
2 .
En prenant la valeur en i des fonctions polynômes associées, on obtient :
n sin α e
i (n−1) α
= b − 3d + 2ci,
d'où :
b − 3d = n sin α cos (n − 1)α
2c
= n sin α sin (n − 1)α.
Des quatre équations obtenues, on déduit les coefficients cherchés :

         
         
a =
n
2
sin α sin (n − 1)α + cos nα
b =
1
2
− n sin α cos (n − 1)α + 3 sin nα
c =
n
2
sin α sin (n − 1)α
d =
1
2
− n sin α cos (n − 1)α + sin nα
.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s