A p p l i c a t i o n
Déterminez les entiers naturels n tels que A n = (X + 1)
n
− X
n
− 1 soit divisible par
P = X
2
+ X + 1.
S o l u t i o n
On a X
2
+ X + 1 = (X − j) (X − j) où j = exp
i
2π
3
.
Par conséquent, P divise A n si, et seulement si, A n (j) = 0 et A n (j) = 0.
Et comme A n ∈ R[X], il suffit que A n (j) = 0 .
La condition cherchée s'écrit donc (j + 1)
n
− j
n
− 1 = 0,
ou encore, sachant que 1 + j = −j
2 , (−1)
n j
2n
− j
n
− 1 = 0 .
Compte-tenu de la périodicité des puissances de j, considérons trois cas, dans lesquels
k ∈ N .
– Si n = 3k, on a (−1)
n j
2n
− j
n
− 1 = (−1)
3k
− 2 = / 0 .
– Si n = 3k + 1 , on a (−1)
n j
2n
− j
n
− 1 = (−1)
3k+1 j
2
− j − 1 . Le résultat sera nul si,
et seulement si, 3k est pair, c'est-à-dire k pair.
– Si n = 3k + 2 , on a (−1)
n j
2n
− j
n
− 1 = (−1)
3k j − j
2
− 1. Le résultat sera nul si, et
seulement si, 3k est impair, c'est-à-dire k impair.
Les entiers qui conviennent sont donc de la forme 6 p + 1 ou 6 p + 5, avec p ∈ N.
A p p l i c a t i o n
Décomposez P = X
8
+ X
4
+ 1 en facteurs irréductibles dans R[X].
S o l u t i o n
On peut chercher les racines de P dans C et les regrouper par paires de racines conjuguées. Mais on va plus vite avec les transformations algébriques :
X
8
+ X
4
+ 1 = (X
4
+ 1)
2
− X
4
= (X
4
+ 1 + X
2
)(X
4
+ 1 − X
2
)
(X
4
+ 1 + X
2
) = (X
2
+ 1)
2
− X
2
= (X
2
+ 1 + X)(X
2
+ 1 − X)
(X
4
+ 1 − X
2
) = (X
2
+ 1)
2
− 3X
2
= (X
2
+ 1 +
√
3X)(X
2
+ 1 −
√
3X)
Donc :
P = (X
2
+ X + 1)(X
2
− X + 1)(X
2
+
√
3X + 1)(X
2
−
√
3X + 1) .
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F I C H E 1 1 – Po l y n ô m e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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1
Déterminez les entiers naturels n tels que A n = (X + 1)
n
− X
n
− 1 soit divisible par
P = X
2
+ X + 1.
S o l u t i o n
On a X
2
+ X + 1 = (X − j) (X − j) où j = exp
i
2π
3
.
Par conséquent, P divise A n si, et seulement si, A n (j) = 0 et A n (j) = 0.
Et comme A n ∈ R[X], il suffit que A n (j) = 0 .
La condition cherchée s'écrit donc (j + 1)
n
− j
n
− 1 = 0,
ou encore, sachant que 1 + j = −j
2 , (−1)
n j
2n
− j
n
− 1 = 0 .
Compte-tenu de la périodicité des puissances de j, considérons trois cas, dans lesquels
k ∈ N .
– Si n = 3k, on a (−1)
n j
2n
− j
n
− 1 = (−1)
3k
− 2 = / 0 .
– Si n = 3k + 1 , on a (−1)
n j
2n
− j
n
− 1 = (−1)
3k+1 j
2
− j − 1 . Le résultat sera nul si,
et seulement si, 3k est pair, c'est-à-dire k pair.
– Si n = 3k + 2 , on a (−1)
n j
2n
− j
n
− 1 = (−1)
3k j − j
2
− 1. Le résultat sera nul si, et
seulement si, 3k est impair, c'est-à-dire k impair.
Les entiers qui conviennent sont donc de la forme 6 p + 1 ou 6 p + 5, avec p ∈ N.
A p p l i c a t i o n
Décomposez P = X
8
+ X
4
+ 1 en facteurs irréductibles dans R[X].
S o l u t i o n
On peut chercher les racines de P dans C et les regrouper par paires de racines conjuguées. Mais on va plus vite avec les transformations algébriques :
X
8
+ X
4
+ 1 = (X
4
+ 1)
2
− X
4
= (X
4
+ 1 + X
2
)(X
4
+ 1 − X
2
)
(X
4
+ 1 + X
2
) = (X
2
+ 1)
2
− X
2
= (X
2
+ 1 + X)(X
2
+ 1 − X)
(X
4
+ 1 − X
2
) = (X
2
+ 1)
2
− 3X
2
= (X
2
+ 1 +
√
3X)(X
2
+ 1 −
√
3X)
Donc :
P = (X
2
+ X + 1)(X
2
− X + 1)(X
2
+
√
3X + 1)(X
2
−
√
3X + 1) .
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F I C H E 1 1 – Po l y n ô m e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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