Un zéro α de P est dit d'ordre k, ou de multiplicité k (avec k ∈ N
∗ ), si α est
racine d'ordre k de l'équation ˜
P(x) = 0. Cela signifie qu'il existe Q ∈ K[X] tel
que P = (X − α)
k Q avec Q(α) = / 0.
Pour K = R ou C, un zéro α de P est d'ordre k si, et seulement si :
P(α) = P
(α) = · · · = P
(k−1)
(α) = 0 .
L'ordre est égal à k si, en plus, P
(k)
(α) = / 0 .
• Théorème de d'Alembert-Gauss
Tout polynôme de C[X] a au moins une racine dans C.
On en déduit qu'un polynôme de C[X], de degré n, a exactement n racines dans C,
en comptant chaque racine autant de fois que son ordre de multiplicité.
• Polynôme irréductible
Un polynôme P de K[X] est irréductible si d
◦ P 1 , et s'il n'est divisible que par
les polynômes associés à 1 et à P.
• Polynôme scindé
Un polynôme P ∈ K[X], de degré n, est scindé s'il s'écrit comme produit de polynômes de degré 1, soit :
P = a n
r
i=1
(X − α i )
k i
avec a n = / 0.
• Relations entres les coefficients et les racines
Si P =
n
i=0
a i X
i est de la forme ci-dessus, désignons par σ p la somme des produits
p à p des racines. On a la relation :
σ p = (−1)
p a n− p
a n
·
• Décomposition d'un polynôme
Tout polynôme de degré 1 se factorise en un produit d'un élément de K
∗ et de
polynômes irréductibles unitaires.
Cette décomposition est unique, à l'ordre près.
Dans C[X], les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1.
Dans R[X], les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1, et les polynômes a X
2
+ bX + c avec b
2
− 4ac < 0.
Si P ∈ R[X], on peut le considérer dans C[X], et si α est un zéro non réel de P,
alors P admet aussi le conjugué α pour zéro, avec le même ordre de multiplicité
que α.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s