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F I C H E 1 1 – Po l y n ô m e s
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Addition de deux polynômes
P + Q =
r
k=0
c k X
k
avec r = max ( p,q) et c k = a k + b k .
On a : d
◦
(P + Q) max (d
◦ P,d
◦ Q) . Si d
◦ P = / d
◦ Q , il y a égalité.
Produit par un scalaire
λ P =
p
i=0
(λ a i ) X
i . Si λ = / 0 , on a : d
◦
(λ P) = d
◦ P .
Produit de deux polynômes
P Q =
p+q
k=0
d k X
k avec d k =
i+ j=k
a i b j .
On a : d
◦
(P Q) = d
◦ P + d
◦ Q .
• Divisibilité
Si A = B Q (avec Q ∈ K[X]), on dit que A est un multiple de B, ou que B est un
diviseur de A.
On dit que A et B sont des polynômes associés lorsque A = λ B , avec λ ∈ K
∗ .
• Division euclidienne
Soit A et B deux polynômes de K[X], avec B = / 0. Il existe des polynômes
uniques Q et R dans K[X], tels que :
A = B Q + R avec d
◦ R < d
◦ B.
On dit que Q est le quotient, et R le reste, dans la division euclidienne de A par B.
• Polynôme dérivé
Si K est un sous-corps de C, la définition et les propriétés du polynôme dérivé sont
analogues à celles de la fonction associée.
II Racines d'un polynôme
• Définition et caractérisation
Une équation algébrique est de la forme ˜
P(x) = 0 où P est un polynôme. Ses
racines sont les zéros, ou racines, de P.