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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Polynômes
I Polynômes à une indéterminée
• Définitions
Polynôme formel
Un polynôme à une indéterminée, à coefficients dans un corps K, est une suite de valeurs
a i de K, nulle à partir d'un certain rang p. Un tel polynôme se note P ou P(X) :
P(X) = a 0 + a 1 X + · · · + a p X
p .
Les nombres a i sont les coefficients du polynôme P.
Si P = / 0 , le plus grand entier p tel que a p = / 0 est le degré du polynôme P. On le
note d
◦ P, ou deg P.
a p est le coefficient dominant de P. Lorsque a p = 1, le polynôme est dit unitaire,
ou normalisé.
Pour le polynôme nul P = 0 , on convient de poser d
◦ P = −∞.
L'ensemble des polynômes à une indéterminée X, à coefficients dans K, se note
K[X].
On note K n [X] l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
Fonction polynomiale
P =
p
i=0
a i X
i étant un polynôme de K[X], la fonction polynomiale associée à P
est l'application ˜
P, de K dans K, définie par :
x → ˜
P(x) =
p
i=0
a i x
i .
FICHE 11
Si K est infini, vous pouvez confondre sans risque P et ˜
P. Ce n'est pas le cas si K est
fini.
• Opérations
Soit P =
p
i=0
a i X
i et Q =
q
j=0
b j X
j deux éléments de K[X], et λ ∈ K.