• Triangle rectangle en M 1
Première solution
Le triangle M 1 M 2 M 3 est rectangle en M 1 si, et seulement si :
arg (z
3
− z) − arg (z
2
− z) = ±
π
2
⇐⇒ arg
z
3
− z
z 2 − z
= arg (z + 1) = ±
π
2
⇐⇒ z + 1 = ib soit z = −1 + i b avec b ∈ R.
Deuxième solution
Le théorème de Pythagore s'écrit :
|z
3
− z|
2
+ |z
2
− z|
2
= |z
3
− z
2
|
2
⇐⇒ |z|
2
|z − 1|
2
|z + 1|
2
+ |z|
2
|z − 1|
2
= |z|
4
|z − 1|
2
⇐⇒ |z + 1|
2
+ 1 = |z|
2
.
En posant z = x + i y, cette égalité devient :
(x + 1)
2
+ y
2
+ 1 = x
2
+ y
2
⇐⇒ 2x + 2 = 0 ⇐⇒ x = −1 .
• Triangle rectangle en M 2
Première solution
Le triangle M 1 M 2 M 3 est rectangle en M 2 si, et seulement si :
arg (z
3
− z
2
) − arg (z − z
2
) = ±
π
2
= arg (−z) ⇐⇒ z = i b avec b ∈ R.
Deuxième solution
Le théorème de Pythagore s'écrit :
|z
3
− z
2
|
2
+ |z − z
2
|
2
= |z
3
− z|
2
⇐⇒ |z|
2
+ 1 = |z + 1|
2
⇐⇒ x = 0
• Triangle rectangle en M 3
Dans ce cas, la solution utilisant le théorème de Pythagore devient préférable :
|z
2
− z
3
|
2
+ |z − z
3
|
2
= |z
2
− z|
2
⇐⇒ |z|
2
+ |z + 1|
2
= 1 .
En posant z = x + i y, cette égalité devient x
2
+ y
2
+ x = 0.
Comme x
2
+ y
2
+ x =
x +
1
2
2 + y
2
−
1
4
il s'agit de l'équation du cercle (C) de
centre
−
1
2
,0
et de rayon R =
1
2
·
• En conclusion, l'ensemble cherché comporte la droite x = −1, la droite x = 0,
le cercle (C), sauf les points d'affixes 0 et −1.
51
F I C H E 1 0 – N o m b r e s c o m p l e x e s e t g é o m é t r i e
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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