A p p l i c a t i o n
Montrez qu'une condition nécessaire et suffisante pour que M 1 (z 1 ), M 2 (z 2 ) et M 3 (z 3 )
soient, dans le plan complexe, les sommets d'un triangle équilatéral est :
z
2
1 + z
2
2 + z
2
3 − z 1 z 2 − z 2 z 3 − z 1 z 3 = 0 .
S o l u t i o n
Le triangle M 1 M 2 M 3 est équilatéral si, et seulement si, M 1 M 2 = M 1 M 3 et
− −−→
M 1 M 2 ,
− −−→
M 1 M 3
=
− → u ,
− −−→
M 1 M 3
−
− → u ,
− −−→
M 1 M 2
= ±
π
3
(2π) .
Cette condition nécessaire et suffisante se traduit par :
|z 2 − z 1 | = |z 3 − z 1 |
arg(z 3 − z 1 ) − arg(z 2 − z 1 ) = ±
π
3
(2π),
ce qui équivaut à :
z 3 − z 1 = (z 2 − z 1 ) e
i π
3
ou z 3 − z 1 = (z 2 − z 1 ) e
−i π
3 .
La condition cherchée peut s'écrire :
z 3 − z 1 − (z 2 − z 1 ) e
i π
3
z 3 − z 1 − (z 2 − z 1 ) e
−i π
3
= 0 .
En développant, il vient :
z
2
1 + z
2
2 + z
2
3 − z 1 z 2 − z 2 z 3 − z 1 z 3 = 0 .
A p p l i c a t i o n
Trouvez les points M d'affixe z tels que les images de z , z
2 et z
3 forment un triangle
rectangle.
S o l u t i o n
Si z = 0 ou z = 1, le triangle est réduit à un point. Si z = −1, le triangle est aplati.
Supposons donc que z est différent de ces trois valeurs, et notons M 1 , M 2 , M 3 les
images respectives de z , z
2 , z
3 . Trois cas sont à considérer.
50
A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s