A p p l i c a t i o n
Soit a et b deux réels distincts et n ∈ N
∗ . Résolvez l'équation (E) dans C :
(z − a)
n
− (z − b)
n
= 0
(E) .
S o l u t i o n
Comme z = b n'est pas solution de (E) puisque a = / b, l'équation est équivalente à :
z − a
z − b
n
= 1 ;
d'où :
z k − a
z k − b
= e
i 2kπ
n avec k ∈ {0,. . . ,n − 1}.
Pour k = 0, on aurait a = b, ce qui est contraire à l'hypothèse.
Pour k ∈ {1,. . . ,n − 1}, on obtient : z k =
a − be
i 2kπ
n
1 − e
i 2kπ
n
·
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F I C H E 9 – N o m b r e s c o m p l e x e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
9
Résoudre (E), c'est chercher les racines d'un polynôme de degré n − 1 (développez si
nécessaire). Le théorème de d'Alembert (cf. fiche 11) nous dit qu'il y en a n − 1 dans C,
ce qui permet de se contrôler.
En multipliant le numérateur et le dénominateur par e
−i kπ
n on a :
z k =
ae
−i kπ
n − be
i kπ
n
−2 i sin
kπ
n
=
(a − b) cos
kπ
n
− i (a + b) sin
kπ
n
−2 i sin
kπ
n
=
a + b
2
+ i
a − b
2
cot
kπ
n
.
On constate que les images des solutions appartiennent toutes à la droite d'équation
x =
a + b
2
·