– soit utiliser une factorisation efficace :
1 + e
ix
= e
i x
2
e
i x
2 + e
−i x
2
= e
i x
2 2 cos
x
2
·
On en déduit :
1 + e
ix
n =
2 cos
x
2
n
cos n
x
2
+ i sin n
x
2
,
puis A = 2
n
cos
x
2
n
cos
n
x
2
.
A p p l i c a t i o n
Résolvez dans C l'équation :
(1 + i) z
2
− (7 + 13 i) z + 2 + 60 i = 0
(E) .
S o l u t i o n
On a : = (7 + 13 i)
2
− 4 (1 + i) (2 + 60 i) = 112 − 66 i = / 0 .
On cherche d'abord les racines carrées de , c'est-à-dire les réels α et β tels que :
(α + iβ)
2
= 112 − 66 i .
En écrivant l'égalité des parties réelles, des parties imaginaires et des modules, on
obtient :
α
2
− β
2
= 112
α β = −33
α
2
+ β
2
= 130
⇐⇒
α
2
= 121
α β < 0
β
2
= 9
Les racines de sont −11 + 3 i et 11 − 3 i.
Les racines de (E) sont donc :
7 + 13 i + (−11 + 3 i)
2 (1 + i)
= 3 + 5 i et
7 + 13 i + (11 − 3 i)
2 (1 + i)
= 7 − 2 i·
46
A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
1 + e
ix
= e
i x
2
e
i x
2 + e
−i x
2
= e
i x
2 2 cos
x
2
·
On en déduit :
1 + e
ix
n =
2 cos
x
2
n
cos n
x
2
+ i sin n
x
2
,
puis A = 2
n
cos
x
2
n
cos
n
x
2
.
A p p l i c a t i o n
Résolvez dans C l'équation :
(1 + i) z
2
− (7 + 13 i) z + 2 + 60 i = 0
(E) .
S o l u t i o n
On a : = (7 + 13 i)
2
− 4 (1 + i) (2 + 60 i) = 112 − 66 i = / 0 .
On cherche d'abord les racines carrées de , c'est-à-dire les réels α et β tels que :
(α + iβ)
2
= 112 − 66 i .
En écrivant l'égalité des parties réelles, des parties imaginaires et des modules, on
obtient :
α
2
− β
2
= 112
α β = −33
α
2
+ β
2
= 130
⇐⇒
α
2
= 121
α β < 0
β
2
= 9
Les racines de sont −11 + 3 i et 11 − 3 i.
Les racines de (E) sont donc :
7 + 13 i + (−11 + 3 i)
2 (1 + i)
= 3 + 5 i et
7 + 13 i + (11 − 3 i)
2 (1 + i)
= 7 − 2 i·
46
A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s