A p p l i c a t i o n
Résolvez dans C : z
8
= z .
S o l u t i o n
L'égalité z
8
= z entraîne |z
8
| = |z|, soit |z|
8
= |z|.
On a donc |z| = 0 ou |z| = 1.
Si |z| = 0, alors z = 0.
Si |z| = 1, il reste à écrire l'égalité des arguments, à un multiple de 2π près :
8 arg z = − arg z ⇐⇒ 9 arg z = 0 ,
soit arg z =
2kπ
9
avec k ∈ {0,1,. . . ,8}.
Les racines de z
8
= z sont donc 0 et les racines 9-ièmes de l'unité.
A p p l i c a t i o n
Calculez :
n
k=0
n
k
cos kx .
S o l u t i o n
A =
n
k=0
n
k
cos kx est la partie réelle de :
n
k=0
n
k
cos kx + i
n
k=0
n
k
sin kx =
n
k=0
n
k
e
ikx
=
1 + e
ix
n .
Pour élever 1 + e
ix à la puissance n, on peut :
– soit utiliser des formules de trigonométrie :
1 + e
ix
= 1 + cos x + i sin x = 2 cos
2 x
2
+ 2i sin
x
2
cos
x
2
= 2 cos
x
2
cos
x
2
+ i sin
x
2
.
45
F I C H E 9 – N o m b r e s c o m p l e x e s
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9