– Propriétés
∀z ∈ C
∀z
∈ C
e
z e
z
= e
z+z
;
∀z ∈ C
∀n ∈ Z
e
z
n = e
nz .
Si z est une constante complexe et t une variable réelle, on a :
d
dt
e
zt
= z e
zt .
IV Racines n-ièmes d'un nombre complexe
• Racines n-ièmes de l'unité
Soit U n l'ensemble des racines n-ièmes de 1, c'est-à-dire l'ensemble des nombres
complexes z tels que z
n
= 1. On a :
U n = {u 0 ,u 1 ,. . . ,u n−1 } avec u k = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
= (u 1 )
k
et la propriété :
n−1
k=0
u k = 0 .
• Racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul
Tout nombre complexe non nul ρ (cos θ + i sin θ) possède n racines n-ièmes :
z k =
n
√
ρ
cos
θ + 2kπ
n
+ i sin
θ + 2kπ
n
avec k ∈ {0,. . . ,n − 1}.
À partir de l'une d'entre elles, on peut les obtenir toutes en la multipliant par les
éléments de U n .
• Cas particulier des racines carrées
Pour déterminer les racines carrées de z = a + ib, il est plus commode de procéder par identification, c'est-à-dire de chercher les réels α et β tels que
(α + iβ)
2
= a + ib.
L'égalité des parties réelles et des parties imaginaires donne :
α
2
− β
2
= a et 2α β = b .
L'égalité des modules conduit à :
α
2
+ β
2
=
√
a 2 + b 2 .
On en déduit α
2 et β
2 , puis α et β en utilisant le fait que α β est du signe de b.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Ce calcul est utilisé lors de la résolution d'une équation du second degré à coefficients
complexes.