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F I C H E 9 – N o m b r e s c o m p l e x e s
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Si M est l'affixe de z , |z| est la longueur O M.
Le module d'un nombre complexe a les mêmes propriétés que la valeur absolue
d'un nombre réel.
• Forme trigonométrique
Tout nombre complexe non nul z s'écrit sous forme trigonométrique :
z = ρ (cos θ + i sin θ) avec ρ > 0.
ρ = |z| est le module de z .
θ est un argument de z . On le note arg z . Il est défini, modulo 2π, par :
cos θ =
x
ρ
et sin θ =
y
ρ
·
• Propriétés de l'argument d'un nombre complexe non nul
Les égalités suivantes ont lieu à 2kπ près (avec k ∈ Z) :
arg(zz
) = arg z + arg z
; arg(z
n
) = n arg z avec n ∈ Z ;
arg
1
z
= − arg z ; arg
z
z
= arg z − arg z
.
III Exponentielle complexe
On convient de noter cos θ + i sin θ = e
iθ .
• Formule de Moivre
∀θ ∈ R ∀n ∈ Z
(cos θ + i sin θ)
n
= cos nθ + i sin nθ ,
ce qui s'écrit avec la notation précédente : (e
iθ
)
n
= e
inθ .
• Formules d'Euler
Pour tout réel x et tout entier n, on a :
cos x =
e
ix
+ e
−ix
2
; sin x =
e
ix
− e
−ix
2i
;
cos nx =
e
inx
+ e
−inx
2
; sin nx =
e
inx
− e
−inx
2i
·
• Exponentielle complexe
– Définition
On définit l'exponentielle du nombre complexe z = x + iy par :
e
z
= e
x e
iy
= e
x
(cos y + i sin y) .