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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Nombres complexes
I Forme algébrique
• Définitions
Tout nombre complexe z s'écrit, de manière unique, sous la forme algébrique
z = x + iy avec x et y réels, i étant un nombre complexe particulier tel que
i
2
= −1.
Le réel x s'appelle la partie réelle de z , et se note Re(z) .
Le réel y s'appelle la partie imaginaire de z , et se note Im(z) .
• Plan complexe
Soit (O, − → u , − → v ) un repère orthonormal du plan.
L'application qui, à tout nombre complexe z = x + iy, fait correspondre le point M
de coordonnées (x,y) est une bijection. M est l'image de z , et z l'affixe de M.
L'affixe du vecteur α − → u + β − → v est le nombre complexe z = α + iβ.
Si z A et z B sont les affixes de A et B, le vecteur
− →
AB a pour affixe z B − z A .
La somme des nombres complexes correspond à l'addition des vecteurs.
• Conjugué d'un nombre complexe
Le conjugué du nombre complexe z = x + iy (où x ∈ R et y ∈ R) est le nombre
complexe z = x − iy.
Les images des nombres complexes z et z sont symétriques par rapport à l'axe des
abscisses.
On a les propriétés :
z = z ; z + z = z + z ;
zz = zz
;
z
z
=
z
z
·
II Forme trigonométrique
• Module d'un nombre complexe
Le module de z = x + iy (où x ∈ R et y ∈ R) est le nombre réel positif
√
z z =
x 2 + y 2 . On le note |z|, ou ρ, ou r.
FICHE 9