A p p l i c a t i o n
Dans Z/60Z , montrez que 11 et 7 sont inversibles et déterminez leurs inverses.
S o l u t i o n
• Comme 11 et 7 sont premiers avec 60, les deux éléments 11 et 7 sont inversibles
dans Z/60Z .
• On a 11 × 11 = 121 = 1. L'inverse de 11 dans Z/60Z est donc 11.
• Déterminons des entiers u et v tels que 7u + 60v = 1 avec l'algorithme d'Euclide :
60 = 7 × 8 + 4
7 = 4 × 1 + 3
4 = 3 × 1 + 1
d'où l'on déduit :
1 = 4 − 3
= 4 − (7 − 4) = 4 × 2 − 7
= (60 − 7 × 8) × 2 − 7
= 60 × 2 − 17 × 7.
On a donc dans Z/60Z :
1 = 60 × 2 − 17 × 7 = −17 × 7 = 43 × 7 .
L'inverse de 7 dans Z/60Z est donc 43.
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F I C H E 8 – A r i t h m é t i q u e d a n s Z
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