Réciproquement, tous les nombres u et v ainsi obtenus conviennent.
L'ensemble S des solutions (u,v) ∈ Z
2 de l'équation 143 u + 100 v = 1 est donc :
S =
(7 + 100 k,−10 − 143 k) ; k ∈ Z
.
A p p l i c a t i o n
a et b étant deux entiers naturels non nuls, on note d leur PGCD et m leur PPCM.
Déterminez tous les couples (a,b) vérifiant le système :
m
= d
2
m + d = 156
a
b.
S o l u t i o n
En reportant la première égalité dans la deuxième, on obtient :
m + d = d
2
+ d = d (d + 1) = 156 .
d et d + 1 sont donc des diviseurs de 156.
Dans N, les diviseurs de 156 = 2
2
× 3 × 13 sont :
{1,2,3,4,6,12,13,26,39,52,78,156} .
On a donc d = 12 et m = 144 .
On sait que md = |ab|. Introduisons les nombres a
et b
, premiers entre eux avec
a
b
, tels que a = 12a
et b = 12b
.
En reportant dans la dernière égalité, on obtient :
a
b
= 12 .
Deux possibilités sont à envisager car a b :
– a
= 12 et b
= 1, qui conduit à la solution a = 144 et b = 12 ;
– a
= 4 et b
= 3, qui conduit à la solution a = 48 et b = 36.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s