Pour p k p + q, on a x
k
= x
p x
k− p
= 0 , et y
p+q−k
existe puisque
p + q − k 0 .
Le terme correspondant est donc nul lui aussi.
Tous les termes de la somme sont donc nuls.
On a donc montré qu'il existe n = p + q tel que (x + y)
n
= 0, c'est-à-dire que x + y
est nilpotent.
A p p l i c a t i o n
Montrez que le corps des rationnels Q n'admet pas d'autre sous-corps que lui-même.
S o l u t i o n
Soit K un sous-corps de Q.
Il contient les éléments neutres 0 et 1 de l'addition et de la multiplication.
Comme il est stable par addition, tout entier naturel non nul n = 1 + · · · + 1 appartient aussi à K. Donc N ⊂ K.
Comme K est un groupe pour l'addition, pour tout entier naturel n, on a aussi −n ∈ K.
Donc Z ⊂ K.
Considérons un rationnel r =
p
q
avec q = / 0. Comme p et q appartiennent au corps
K, alors r = p × q
−1
∈ K. Donc Q ⊂ K.
On est parti de K ⊂ Q. On conclut donc que K = Q.
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F I C H E 7 – A n n e a u x e t c o r p s
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