A p p l i c a t i o n
Soit x un élément d'un anneau intègre A.
Démontrez que si x est inversible à droite, alors x est inversible à gauche.
S o l u t i o n
Comme x admet un symétrique à droite, il existe x
∈ A tel que x x
= 1. On a :
(x
x − 1) x
= x
x x
− x
= x
− x
= 0 .
Puisque x x
= 1, on a x
= / 0 car sinon on aurait 0 = 1 et l'anneau A serait réduit
à {0}.
Comme (x
x − 1) x
= 0 et x
= / 0 dans un anneau intègre, on obtient x
x − 1 = 0 ,
soit x
x = 1.
x admet donc aussi un symétrique à gauche.
A p p l i c a t i o n
Soit A un anneau commutatif. On dit qu'un élément x est nilpotent s'il existe n ∈ N
tel que x
n
= 0.
1. Montrez que, si x est nilpotent, alors 1 − x est inversible.
2. Montrez que, si x et y sont nilpotents, alors xy et x + y le sont aussi.
S o l u t i o n
1. Supposons qu'il existe un entier n tel que x
n
= 0.
y = 1 + x + · · · + x
n−1 est un élément de A.
En développant grâce aux propriétés d'un anneau, on obtient :
(1 − x) y = (1 − x) (1 + x + · · · + x
n−1
) = 1 − x
n
= 1 .
L'élément 1 − x est donc inversible, et a pour inverse y.
2. x et y étant supposés nilpotents, il existe p ∈ N tel que x
p
= 0, et q ∈ N tel
que y
q
= 0.
L'anneau étant commutatif, on a (xy)
p
= x
p y
p .
Comme x
p
= 0, on en déduit que (xy)
p
= 0, ce qui prouve que xy est nilpotent.
Considérons (x + y)
n avec n = p + q. On peut le développer en utilisant la formule
du binôme car l'anneau est commutatif :
(x + y)
p+q
=
p+q
k=0
p + q
k
x
k y
p+q−k .
Pour 0 k p, on a p + q − k q, qui entraîne y
p+q−k
= y
q y
p−k
= 0 , puis
p + q
k
x
k y
p+q−k
= 0 .
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s