33
F I C H E 7 – A n n e a u x e t c o r p s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
7
• Morphismes d'anneaux
A et B étant deux anneaux, une application f, de A dans B, est un morphisme d'anneaux si l'on a toujours :
f (x + y) = f (x) + f (y) ; f (xy) = f (x) f (y) ; f (1 A ) = 1 B .
• Anneau intègre
Lorqu'il existe, dans un anneau, des éléments a et b tels que
a = / 0 et b = / 0 et ab = 0 ,
on dit que a et b sont des diviseurs de zéro.
Un anneau intègre est un anneau commutatif, non réduit à {0}, et sans diviseur de
zéro.
Pour qu'un anneau commutatif, non réduit à {0}, soit intègre, il faut et il suffit que
tout élément non nul soit simplifiable pour la multiplication.
II Corps
• Structure de corps
Un corps est un anneau non réduit à {0} dont tous les éléments, sauf 0, sont inversibles. Il est dit commutatif si l'anneau est commutatif.
Dans cet ouvrage, tous les corps seront supposés commutatifs, sans avoir besoin de
le préciser à chaque fois.
• Sous-corps
On dit qu'une partie L d'un corps K, stable pour + et ×, est un sous-corps de K,
si la restriction à L des deux lois de K définit dans L une structure de corps, c'està-dire si c'est un sous-anneau, et si l'inverse d'un élément non nul de L reste
dans L.
Pour qu'une partie non vide L d'un corps K soit un sous-corps de K, il faut et il
suffit que 1 ∈ L et que :
∀x ∈ L ∀y ∈ L
x− y ∈ L et xy ∈ L
∀x ∈ L
∗
x
−1
∈ L
∗
où L
∗
= L \ {0}.
F I C H E 7 – A n n e a u x e t c o r p s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
7
• Morphismes d'anneaux
A et B étant deux anneaux, une application f, de A dans B, est un morphisme d'anneaux si l'on a toujours :
f (x + y) = f (x) + f (y) ; f (xy) = f (x) f (y) ; f (1 A ) = 1 B .
• Anneau intègre
Lorqu'il existe, dans un anneau, des éléments a et b tels que
a = / 0 et b = / 0 et ab = 0 ,
on dit que a et b sont des diviseurs de zéro.
Un anneau intègre est un anneau commutatif, non réduit à {0}, et sans diviseur de
zéro.
Pour qu'un anneau commutatif, non réduit à {0}, soit intègre, il faut et il suffit que
tout élément non nul soit simplifiable pour la multiplication.
II Corps
• Structure de corps
Un corps est un anneau non réduit à {0} dont tous les éléments, sauf 0, sont inversibles. Il est dit commutatif si l'anneau est commutatif.
Dans cet ouvrage, tous les corps seront supposés commutatifs, sans avoir besoin de
le préciser à chaque fois.
• Sous-corps
On dit qu'une partie L d'un corps K, stable pour + et ×, est un sous-corps de K,
si la restriction à L des deux lois de K définit dans L une structure de corps, c'està-dire si c'est un sous-anneau, et si l'inverse d'un élément non nul de L reste
dans L.
Pour qu'une partie non vide L d'un corps K soit un sous-corps de K, il faut et il
suffit que 1 ∈ L et que :
∀x ∈ L ∀y ∈ L
x− y ∈ L et xy ∈ L
∀x ∈ L
∗
x
−1
∈ L
∗
où L
∗
= L \ {0}.