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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Anneaux et corps
I Anneaux
• Structure d'anneau
Un ensemble A, muni d'une loi notée + (dite addition) et d'une loi notée × (dite
multiplication), possède une structure d'anneau si :
– A possède une structure de groupe commutatif pour l'addition ;
– la multiplication est associative et possède un élément neutre ;
– la multiplication est distributive par rapport à l'addition.
Si la multiplication est commutative, l'anneau est dit commutatif.
• Règles de calcul
x
n
i=1
y i
=
n
i=1
x y i ;
n
i=1
y i
x =
n
i=1
y i x .
Dans un anneau commutatif, pour tout n ∈ N, on a :
(x + y)
n
=
n
k=0
n
k
x
k y
n−k
(formule du binôme) où
n
k
=
n!
k!(n − k)!
x
n
− y
n
= (x − y)
n−1
k=0
x
n−k−1 y
k .
FICHE 7
Si l'anneau n'est pas commutatif, ces formules restent vraies pour des éléments permutables, c'est-à-dire tels que xy = yx .
• Sous-anneau
On dit qu'une partie B d'un anneau A, stable pour + et ×, est un sous-anneau
de A, si la restriction à B des deux lois de A définit dans B une structure d'anneau,
avec le même élément neutre pour × que dans A.
Pour qu'une partie B d'un anneau A soit un sous-anneau de A, il faut et il suffit que
1 A ∈ B et :
∀x ∈ B ∀y ∈ B
x− y ∈ B et xy ∈ B .