A p p l i c a t i o n
Soit σ =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
11 4 10 12 9 2 5 8 3 7 1 6
.
Décomposez σ en un produit de cycles disjoints, puis en un produit de transpositions.
Déduisez-en ε(σ), et déterminez σ
2009 .
S o l u t i o n
Soit
σ 1 =
1 11
11 1
= (1 11),
σ 2 =
2 4 12 6
4 12 6 2
= (2 4 12 6) ,
σ 3 =
3 10 7 5 9
10 7 5 9 3
= (3 10 7 5 9) .
On vérifie que σ = σ 1 ◦ σ 2 ◦ σ 3 .
On en déduit qu'on peut décomposer σ en 1 + 3 + 4 = 8 transpositions :
σ = σ 1 ◦ σ 2 ◦ σ 3
= (1 11) ◦ (2 4) ◦ (4 12) ◦ (12 6) ◦ (3 10) ◦ (10 7) ◦ (7 5) ◦ (5 9).
C'est une permutation paire ; donc ε (σ) = (−1)
8
= 1.
Les cycles σ 1 , σ 2 et σ 3 étant disjoints, on a :
σ
2009
= σ
2009
1
◦ σ
2009
2
◦ σ
2009
3
.
Comme on a σ
2
1 = σ
4
2 = σ
5
3 = Id, on en déduit :
σ
2009
= σ
2×1004+1
1
◦ σ
4×502+1
2
◦ σ
5×401+4
3
= σ 1 ◦ σ 2 ◦ σ
4
3 .
Donc :
σ
2009
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
11 4 9 12 7 2 10 8 5 3 1 6
.
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F I C H E 6 – G r o u p e s
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