A p p l i c a t i o n
Démontrez que la réunion de deux sous-groupes est un sous-groupe si, et seulement
si, l'un est inclus dans l'autre.
S o l u t i o n
Soit (G,+) un groupe, H 1 et H 2 deux sous-groupes.
Si H 1 ⊂ H 2 , ou H 2 ⊂ H 1 , alors H 1 ∪ H 2 est un sous-groupe de G, puisqu'il est égal à
H 1 ou à H 2 . Cette condition est donc suffisante.
Pour la réciproque, démontrons la contraposée, c'est-à-dire que, si H 1 /
⊂ H 2 et si
H 2 /
⊂ H 1 , alors H 1 ∪ H 2 n'est pas un sous-groupe de G.
Par hypothèse, il existe un élément h 1 de H 1 qui n'appartient pas à H 2 , et un élément
h 2 de H 2 qui n'appartient pas à H 1 . Montrons que h 1 + h 2 n'appartient pas à H 1 ∪ H 2 .
Si l'on avait h 1 + h 2 ∈ H 1 , alors (h 1 + h 2 ) − h 1 = h 2 appartiendrait au sous-groupe
H 1 , ce qui est contraire à l'hypothèse. On montre de même que h 1 + h 2 n'appartient
pas à H 2 .
On a donc h 1 ∈ H 1 ∪ H 2 , h 2 ∈ H 1 ∪ H 2 et h 1 + h 2 /
∈ H 1 ∪ H 2 .
Comme H 1 ∪ H 2 n'est pas stable pour +, ce n'est pas un sous-groupe.
A p p l i c a t i o n
Montrez que R muni de la loi ∗ définie par :
x ∗ y =
2009
x 2009 + y 2009
est isomorphe à R muni de l'addition.
S o l u t i o n
L'application f, de R dans R, définie par f (x) = x
2009 est une bijection puisqu'elle est
continue, strictement croissante, avec f (R) = R.
De plus, on observe que, pour tous réels x et y, on a :
f (x ∗ y) = f (x) + f (y) .
f transporte donc la structure de groupe commutatif de (R,+), et les groupes (R,+) et
(R,∗) sont isomorphes.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s